Prime Obsession: Bernhard Riemann
และปัญหาที่ยิ่งใหญ่ที่สุดที่แก้ไม่ตกในวิชาคณิตศาสตร์
John Derbyshire
โจเซฟ เฮนรี: 2003. 456 น. $24.95, 19.95 ปอนด์
สล็อตเว็บตรง หลายปีที่ผ่านมา สมมติฐานของรีมันน์ถือได้ว่าเป็นหนึ่งในปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ยังแก้ไม่ตกที่สำคัญที่สุด หากสามารถพิสูจน์ได้ มันก็จะแสดงให้เห็นได้ชัดเจนว่าการสังเกตได้ชี้นำอยู่แล้ว — ในหลาย ๆ ทางจำนวนเฉพาะจะถูกกระจายราวกับว่าพวกมันถูกสุ่มเลือก วิทยาศาสตร์ยอดนิยมเป็นธุรกิจขนาดใหญ่ในปัจจุบัน และมีหนังสือประเภทย่อยที่พัฒนาอย่างรวดเร็วเกี่ยวกับปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียง ทั้งที่ยังไม่ได้แก้หรือเพิ่งแก้ไข ดังนั้นจึงหลีกเลี่ยงไม่ได้ที่ความสนใจจะหันไปหาสมมติฐานของรีมันน์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อตอนนี้มีค่าหัวล้านเหรียญที่เสนอโดย Clay Mathematics Institute และแน่นอนว่า ตอนนี้มีหนังสือยอดนิยมสามเล่มในหัวข้อนี้: Dr. Riemann’s Zerosโดย Karl Sabbagh (Atlantic: 2002) และทั้งสองเล่มได้ทบทวนที่นี่
น่าเสียดาย และตรงกันข้ามกับปัญหาทางคณิตศาสตร์อื่นๆ เช่น ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ การคาดเดาของเคปเลอร์ และปัญหาพนักงานขายของเดินทาง คำแถลงพื้นฐานของสมมติฐานรีมันน์ – ศูนย์ที่ไม่สำคัญของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ล้วนมีส่วนจริงเท่ากับครึ่งหนึ่ง — ค่อนข้างซับซ้อนและอธิบายยากแก่ผู้ฟังทั่วไป ฟังก์ชันซีตาถูกกำหนดโดยอนุกรมอนันต์
ดังนั้นจึงเป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องเข้าใจว่าเมื่อซีรีส์เช่นนี้สมเหตุสมผล ต่อไป เราต้องเข้าใจนวัตกรรมที่สำคัญของรีมันน์ ซึ่งก็คือการขยายคำจำกัดความของฟังก์ชันซีตาให้รวมจำนวนเชิงซ้อน (ฟังก์ชันนี้ได้รับการพิจารณาโดยออยเลอร์แล้วสำหรับของจริง)แม้กระทั่งผู้อ่านที่คุ้นเคยกับiรากที่สองของ -1 อาจจะงงกับความคิดของ2 − i หลังจากตกลงกันได้แล้ว เราได้เรียนรู้ว่านิพจน์สำหรับฟังก์ชันซีตาไม่สมเหตุสมผลเมื่อส่วนจริงของsอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 อย่างไรก็ตาม มีวิธีทำให้เข้าใจฟังก์ชันซีตาได้ในภูมิภาคนี้ และที่น่าสังเกตคือ พฤติกรรมของมันมีผลที่สำคัญต่อการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะ เนื่องจากเป็นการสุ่มของจำนวนเฉพาะที่อยู่เบื้องหลังการเข้ารหัสสมัยใหม่ส่วนใหญ่ และโดยเฉพาะอย่างยิ่งเบื้องหลังความปลอดภัยของอินเทอร์เน็ต การทำความเข้าใจตัวเลขลึกลับเหล่านี้มีความสำคัญสูงสุด
ในหนังสือของเขาPrime Obsessionนั้น John Derbyshire ตั้งตัวเองเป็นภารกิจที่กล้าหาญในการอธิบายสมมติฐานของรีมันน์ให้กับผู้อ่านที่ไม่มีพื้นฐานทางคณิตศาสตร์เกินกว่าความคล่องแคล่วขั้นพื้นฐานในการจัดเรียงเศษส่วนของพีชคณิตและการเปิดรับแคลคูลัสที่ถูกลืมไปครึ่งหนึ่ง แม้ว่าขั้นตอนทั้งหมดจะอยู่ที่นั่น แต่เขากำลังพยายามทำสิ่งที่เป็นไปไม่ได้: ในการเรียนรู้วิชาที่มีลำดับขั้นเหมือนคณิตศาสตร์ คุณต้องเข้าใจและแยกแยะระดับหนึ่งอย่างละเอียดก่อนจึงจะสามารถไปยังระดับถัดไปได้ อันที่จริง เขาเกือบจะยอมรับสิ่งนี้ในบทนำของเขา: “หากคุณไม่เข้าใจสมมติฐานหลังจากอ่านหนังสือของฉันจบ คุณจะค่อนข้างแน่ใจว่าคุณจะไม่มีวันเข้าใจมัน”
แต่มันค่อนข้างผิดที่จะตัดสินหนังสือ
ว่าล้มเหลวด้วยเหตุนี้ เช่นเดียวกับหนังสือประเภทนี้เกือบทั้งหมด มีบางส่วนที่คุณจะอ่านคร่าวๆ และส่วนเหล่านี้จะขึ้นอยู่กับภูมิหลังทางคณิตศาสตร์ของคุณ แต่ส่วนต่างๆ ที่คุณอ่านจะได้รับการอธิบายไว้อย่างดี จุดแข็งที่สำคัญและผิดปกติที่สุดของหนังสือเล่มนี้ซึ่งแม้แต่ผู้เชี่ยวชาญก็ยังชอบคือความสนิทสนมระหว่างผู้แต่งกับฟังก์ชันซีตา ไม่พอใจคำจำกัดความนามธรรม เขาจัดตารางค่าและวาดไดอะแกรมจำนวนมาก (ไม่ใช่เรื่องง่ายเนื่องจากต้องแสดงสี่มิติของกราฟในหน้าเดียว) เพื่อถ่ายทอดให้ผู้อ่านเข้าใจถึงความรู้สึกตามสัญชาตญาณสำหรับฟังก์ชันที่ตัวเขาเองมีค่อนข้างชัดเจน .
The Music of the Primes: ทำไมปัญหาที่แก้ไม่ตกในวิชาคณิตศาสตร์
Marcus du Sautoy
นิคมที่สี่: 2003. 335 หน้า. 18.99 ปอนด์ HarperCollins: 2003. $24.95
หนังสือบันเทิงThe Music of the Primes ของ Marcus du Sautoy มุ่งเป้าไปที่จุดสิ้นสุดของตลาดที่ได้รับความนิยมมากขึ้นและดูเหมือนว่าจะประสบความสำเร็จอย่างมาก เขามีความทะเยอทะยานน้อยกว่า Derbyshire ในสิ่งที่เขาพยายามจะอธิบาย และมุ่งเน้นที่กว้างกว่า ครอบคลุมจำนวนเฉพาะโดยทั่วไป ไม่ใช่แค่สมมติฐานของรีมันน์ แม้ว่าเกร็ดเล็กเกร็ดน้อยของเขามากมาย เช่นที่รามานุจันพูดเกี่ยวกับหมายเลข 1729 จะคุ้นเคยกับผู้อ่านหนังสือคณิตศาสตร์ยอดนิยมอื่นๆ แต่ก็มีหนังสือดีๆ อีกหลายเล่มที่ไม่ค่อยมีใครรู้จัก ผมขอแนะนำเรื่องราวที่กระจ่างแจ้งว่า Don Zagier นักทฤษฎีตัวเลขร่วมสมัย เปลี่ยนใจและเริ่มเชื่อว่าสมมติฐานของรีมันน์เป็นความจริง และสิ่งที่เกี่ยวข้องกับขวดไวน์ที่แพงที่สุดเท่าที่เคยมีมา
ภาษาที่ใช้โดย du Sautoy มีความเกินความจริงมากกว่าภาษา Derbyshire — ตัวอย่างเช่น คำว่า ‘น่าทึ่ง’ ทำให้ปรากฏให้เห็นเป็นประจำ เขาชอบใช้คำอุปมาบางอย่างซ้ำๆ สิ่งที่น่าสังเกตมากที่สุด แทนที่จะพูดว่า “ศูนย์ของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ทั้งหมดอยู่บนเส้นวิกฤต” เขาชอบ “จุดที่ระดับน้ำทะเลในภูมิทัศน์จินตภาพของรีมันน์ล้วนอยู่บนเส้นเลย์เวทย์มนต์” เมื่อใช้คำอุปมาดังกล่าวบ่อยครั้งเพียงพอ ก็สามารถจบลงด้วยการแทนที่คำศัพท์มาตรฐานอื่นๆ (และที่จริงแล้ว คำทางคณิตศาสตร์มาตรฐานหลายๆ คำก็ถูกเลือกเองสำหรับการชี้นำเชิงเปรียบเทียบ) Derbyshire มีนิสัยเหมือนกัน — สำหรับเขา สูตรผลิตภัณฑ์ของออยเลอร์คือ “กุญแจสีทอง” ซึ่งการพลิกกลับถือเป็นประเด็นสำคัญประการหนึ่งในข้อโต้แย้งของรีมันน์
บทต่างๆ ในหนังสือของ Derbyshire สลับไปมาระหว่างบททางคณิตศาสตร์กับบทประวัติศาสตร์ ซึ่งเป็นอุปกรณ์ที่ใช้งานได้ดี รีมันน์เป็นหนึ่งในอัจฉริยะไม่กี่คนในวิชานี้ และมีอิทธิพลเหนือธรรมชาติและแพร่หลายในวิชาคณิตศาสตร์ เช่นเดียวกับฟังก์ชันซีตารีมันน์ เขาได้คิดค้นทรงกลมรีมันน์ พื้นผิวรีมันน์ ท่อร่วมรีมันน์ สมการคอชี-รีมันน์ อินทิกรัลรีมันน์ และทฤษฎีบทมากมายที่มีชื่อของเขาเช่นกัน เขาเป็นคนขี้อายที่มีพื้นเพที่ค่อนข้างต่ำต้อย และชีวิตอันแสนสั้นส่วนใหญ่ของเขาคือการต่อสู้กับความยากจน ความเจ็บป่วย และภาวะซึมเศร้า เป็นการยากที่จะไม่หวั่นไหวที่ชีวิตเช่นนั้นได้ละทิ้งโลกให้มั่งคั่งเหลือเฟือ สล็อตเว็บตรง
